Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（

π

2

-x）=f（

π

2

+x），當(dāng)x∈[-

π

2

，

π

2

]時(shí)，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈(-

π

2

，

π

2

)且x≠0時(shí)，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

Answer 1

分析：確定函數(shù)f（x）的圖象及性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求得結(jié)論．

解答：解：∵f（x+π）=f（x-π），∴f（x+2π）=f（x），∴函數(shù)的周期為2π
∵f（

π

2

-x）=f（

π

2

+x），∴函數(shù)關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱
∵當(dāng)x∈(-

π

2

，

π

2

)且x≠0時(shí)，x•f′（x）＜0，
∴x∈[0，

π

2

）時(shí)，f（x）為單調(diào)減函數(shù)；x∈（-

π

2

，0）時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]時(shí)，0＜f（x）＜1，
∴y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的圖象如圖所示

所以y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè)
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程思想，考查數(shù)形結(jié)合，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．