Question

（2011•新余二模）已知函數f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1（ω＞0，x∈R），且函數f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數f（x）的解析式并求f（x）的最小值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（B）=1，

BA

•

BC

=

9

2

，且a+c=3+

3

，求邊長b．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的余弦函數公式把f（x）化簡合并后，前兩項提取2，利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，利用周期公式即可求出ω的值，代入即可確定出f（x）的解析式，根據正弦函數的值域進而求出f（x）的最小值；
（2）根據（1）中求出的f（x）的解析式，利用f（B）=1，即可求出B的度數，然后根據平面向量的數量積的運算法則化簡已知的

BA

•

BC

=

9

2

，把B的度數代入即可求出ac的值，根據余弦定理表示出b的平方，變形后把a+c及ac的值代入即可求出b的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωx+cosωx-1=2sin(ωx+

π

6

)-1，
由

2π

ω

=π得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1，
所以x=kπ-

π

3

(k∈Z)時，f(x)min=-3；
（2）由f（B）=1得2sin(2B+

π

6

)-1=1，解得B=

π

6

，
又由

BA

•

BC

=

9

2

知accosB=

9

2

，所以ac=3

3

，
由余弦定理知：
b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB
=(3+

3

)2-2×3

3

-2×3

3

×

3

2

=3
所以b=

3

．

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦、余弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的周期公式及值域，掌握平面向量的數量積的運算法則，靈活運用余弦定理化簡求值，是一道中檔題．