Question

（2011•新余二模）18、在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求證：BC⊥平面PBD；
（2）設E為側棱PC上一點，

PE

=λ

PC

，試確定λ的值，使得二面角E-BD-P的大小為45°．

Answer 1

分析：（1）由題設條件可證得DP，DA，DC三線兩兩垂直，故可以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz，按題中所給的條件，給出各點的坐標，求出直線BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由數量積為0證明線面垂直．
（2）由（1）中的坐標系，及E為側棱PC上一點，

PE

=λ

PC

，給出用參數表示的點E的坐標，求出兩個平面EBD與平面PBD的法向量，由公式用參數表示出二面角的余弦值，再令其值是45°的余弦值，解出其參數值即可．

解答：解：（1）證明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz．
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分）

DB

=(1，1，0)，

BC

=（-1，1，0）．
所以

BC

•

DB

=0，BC⊥DB，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D
所以BC⊥平面PBD．（8分）
（2）平面PBD的法向量為

BC

=（-1，1，0），

PC

=(0，2，-1)，

PE

=λ

PC

，λ∈（0，1），所以E（0，2λ，1-λ），
設平面QBD的法向量為n=（a，b，c），

DB

=(1，1，0)，

DE

=（0，2λ，1-λ）
由n•

DB

=0，n•

DQ

=0，得所以，

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

∴

n

=(-1，1，

2λ

λ-1

)，（10分）
由cos

π

4

=

n •B C

| n ||B C |

解得λ=

2

-1（12分）
（用傳統方法解得答案酌情給分）

點評：本題考查二面角的平面角的求法，本題解答用的是向量法，求解此類題，關鍵是掌握住向量公式與所求解問題的對應，建立合適的空間坐標系可以大大降低運算的難度，此種做法運算量較大，解題時要認真嚴謹，避免運算出錯，導致解題失敗．