Question

【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了提高當(dāng)?shù)氐胤浇?jīng)濟(jì)總量，決定引進(jìn)資金對原有的兩個(gè)企業(yè)和進(jìn)行改造，計(jì)劃每年對兩個(gè)企業(yè)共投資500萬元，要求對每個(gè)企業(yè)至少投資50萬元.根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，改造后企業(yè)的年收益（單位：萬元）和企業(yè)的年收益（單位：萬元）與投入資金（單位：萬元）分別滿足關(guān)系式：，.設(shè)對企業(yè)投資額為（單位：萬元），每年兩個(gè)企業(yè)的總收益為（單位：萬元）.

（1）求；

（2）試問如何安排兩個(gè)企業(yè)的投入資金，才能使兩個(gè)企業(yè)的年總收益達(dá)到最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）420萬元； （2）對企業(yè)投資108萬元，對企業(yè)投資392萬元時(shí)總收益最大，最大收益為432萬元.

【解析】

（1）根據(jù)收益公式計(jì)算;

（2）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

（1）對企業(yè)投資300萬元，則對企業(yè)投資200萬元，

∴

（萬元）.

（2）設(shè)對企業(yè)投資萬元，則對企業(yè)投資為萬元.

∵每個(gè)企業(yè)至少投資50萬元，∴，解得.

∴

.

令，則，上式化為

.

∴當(dāng)時(shí)，取最大值，即時(shí)，取最大值，最大值為432萬元.

綜上，對企業(yè)投資108萬元，對企業(yè)投資392萬元時(shí)總收益最大，最大收益為432萬元.