Question

【題目】已知點，，均在圓上.

（1）求圓的方程；

（2）若直線與圓相交于、兩點，求的長；

（3）設過點的直線與圓相交于、兩點，試問：是否存在直線，使得以為直徑的圓經過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）和 .

【解析】

（1）根據圓心在，的中垂線直線上，設圓心的坐標為，根據求得的值，從而可得結果；（2）利用點到直線的距離公式，結合勾股定理即可得結果；（3）驗證直線的斜率不存在時符合題意，若斜率存在，設直線的方程為，與聯立，利用韋達定理，根據列出關于的方程，求出的值，從而可得結果.

（1）依題知，圓心在，的中垂線直線上，

設圓心的坐標為，則，

兩邊平方，解得，即圓心，

半徑，

圓的方程為.

（2）圓心 到直線的距離為

，

.

（3）設，，依題意知：，且，的斜率均存在，

即，，

①當直線的斜率不存在時，：，則，

滿足，故直線：滿足題意.

②當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，

由消去得， ，

則，

由得， ，

即 ，解得，

直線的方程為.

綜上可知，存在滿足條件的直線和.