Question

【題目】已知橢圓：經過點（，），且兩個焦點，的坐標依次為（1，0）和（1，0）．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設，是橢圓上的兩個動點，為坐標原點，直線的斜率為，直線的斜率為，求當為何值時，直線與以原點為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的標準方程．

Answer 1

【答案】（1）（2），定圓的標準方程為

【解析】【試題分析】(I)依題意得,將利用橢圓的定義計算出,最后計算出,得到橢圓的方程.設出直線的方程,聯立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,根據直線和圓相切,利用點到直線的距離公式建立方程,求得定圓的標準方程.

【試題解析】

(Ⅰ)由橢圓定義得，

即，又，所以，得橢圓C的標準方程為

(Ⅱ）設直線的方程為，，

直線的方程與橢圓方程聯立，消去得，

當判別式時，得，

設，因為點在直線上，得，

整理得，

即，化簡得

原點O到直線的距離，，

由已知有是定值，所以有，解得

即當時，直線與以原點為圓心的定圓相切，

此時，定圓的標準方程為