Question

為贏得2010年上海世博會的制高點，某公司最近進行了世博特許產品的市場分析，調查顯示，該產品每件成本9元，售價為30元，每天能賣出432件，該公司可以根據情況可變化價格x（-30≤x≤54）元出售產品；若降低價格，則銷售量增加，且每天多賣出的產品件數與商品單價的降低值|x|的平方成正比，已知商品單價降低2元時，每天多賣出24件；若提高價格，則銷售減少，減少的件數與提高價格x成正比，每提價1元則每天少賣8件，且僅在提價銷售時每件產品被世博管委會加收1元的管理費．
（Ⅰ）試將每天的銷售利潤y表示為價格變化值x的函數；
（Ⅱ）試問如何定價才能使產品銷售利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據“每天多賣出的產品件數與商品單價的降低值|x|的平方成正比”和“商品單價降低2元時，每天多賣出24件”，建立降價多賣產品的模型，再根據銷售利潤的構成，建立利潤函數模型．當提價x時，由“銷售減少，減少的件數與提高價格x成正比，每提價1元則每天少賣8件，”，建立少賣產品的模型，再由銷售利潤的構成建立利潤函數模型，構造分段函數．
（2）根據（1）按分段函數求最值來完成，思路是求每一段的最大值，然后從中取最大的作為原函數的最大值．
解答：解：（1）當降價|x|時，則多賣產品kx²，由已知得：24=kx²=4k⇒k=6，
所以f（x）=（30+x-9）（432+6x²）=6（x³+21x²+72x+1512）（3分）
當提價x時，f（x）=（30+x-10）•（432-8x）=-8x²+272x+8640，（2分）
所以（6分）
（2）當降價銷售時，
f（x）=6（x³+21x²+72x+1512），
f'（x）=18（x²+14x+24）=18（x+12）（x+2）=0⇒x₁=-12，x₂=-2，
所以有
即f（x）在x=-12處取得唯一極大值f（-12）=11664，
∴f（x）_max=11664，（9分）
當提價銷售時，f（x）=-8x²+272x+8640=-8（x²-34x）+8640=-8[（x-17）²]+10952≤10952＜11664（11分）
所以當定價18元時，銷售額最大．（12分）
點評：本題主要考查函數模型的建立和應用，主要涉及分段函數的求法，導數法，二次函數法求最值及分類討論思想．