Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數方程為（為參數， ），以為極點， 軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求已知曲線和曲線交于兩點，且，求實數的值.

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2) 或.

【解析】試題分析: （Ⅰ）根據加減相消法將曲線參數方程化為普通方程，利用將曲線（Ⅱ）先將直線參數方程轉化為（為參數， ），再根據直線參數方程幾何意義由得，最后將直線參數方程代入，利用韋達定理得關于的方程，解得的值.

試題解析: （Ⅰ）曲線參數方程為,∴其普通方程，

由曲線的極坐標方程為,∴

∴,即曲線的直角坐標方程.

（Ⅱ）設、兩點所對應參數分別為，聯解得

要有兩個不同的交點，則,即，由韋達定理有

根據參數方程的幾何意義可知，

又由可得，即或

∴當時，有，符合題意．

當時，有，符合題意．

綜上所述，實數的值為或．