Question

【題目】【2017屆湖北省荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟高三2月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）】已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）時(shí)，僅有一個(gè)極值點(diǎn)；（ⅱ） 當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)．（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，再確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況，這需分類討論：一次與二次的討論，二次中有根與無(wú)根的討論，兩根情況分相等、一正一負(fù)、兩不等正根，最后根據(jù)對(duì)應(yīng)情況確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）先確定有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍,以及滿足條件，再化簡(jiǎn)為的函數(shù)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明不等式.

試題解析：解：（Ⅰ）由得，

（ⅰ）時(shí)， ，

所以取得極小值，是的一個(gè)極小值點(diǎn)．

（ⅱ）時(shí)，，令，得

顯然，，所以，

在取得極小值，有一個(gè)極小值點(diǎn)．

（ⅲ）時(shí)，時(shí)，即在是減函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，令，得

當(dāng)和時(shí)，時(shí)，，所以在取得極小值，在取得極大值，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)．

綜上可知：（ⅰ）時(shí)，僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

（ⅱ） 當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且

是方程的兩根，所以，

，

設(shè)，，

所以時(shí)，是減函數(shù)，，則

所以得證．