Question

【題目】【2017屆湖北省武漢市武昌區高三1月調研考試文數】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）設，若對，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，在上單調遞增， ，在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求函數的導數，并化簡為 ， 不在定義域內，所以分 和 兩種情況討論函數的單調性；（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結果，設 并且去掉絕對值，變形為 ，令 ，根據函數的單調性，參變分離后， 轉化為求函數最值.

試題解析：（Ⅰ）的定義域為 ，

求導數，得 ，

若 ，則，此時在上單調遞增，

若 ，則由得，當時， ，當時， ，

此時在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）不妨設，而，由（Ⅰ）知，在上單調遞增，

從而 等價于

①

令，則，

因此，①等價于在上單調遞減，

對恒成立，

對恒成立， ，

又，當且僅當，即時，等號成立.

，故的取值范圍為.