Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，離心率為.不過原點的直線與橢圓相交于兩點，設直線，直線，直線的斜率分別為，且成等比數列.

（1）求的值；

（2）若點在橢圓上，滿足的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：（1）由離心率公式及基本量運算可得，從而得方程；設直線的方程為，由，得，由已知，利用韋達定理帶入可得；

（2）假設存在直線滿足題設條件，且設，由，得，代入橢圓方程得：，整理得，由韋達定理帶入可得，可知直線不存在.

詳解：（1）由已知得，則，

故橢圓的方程為；

設直線的方程為，

由，得，

則，

由已知，

則，即，

所以；

（2）假設存在直線滿足題設條件，且設，

由，得，

代入橢圓方程得：，

即，

則，即，

則，

所以，

化簡得：，而，則，

此時，點中有一點在橢圓的上頂點（或下頂點處），與成等比數列相矛盾，故這樣的直線不存在.