Question

【題目】已知函數的圖像在處的切線與直線平行.

(1)求函數的極值；

(2)若，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求得的導數，利用導數的幾何意義可得切線的斜率，由兩直線平行的條件，斜率相等，可求得的值，求出的導數和單調區間，即可得到所求極值；（2）設，可得，等價于在上為增函數，求得的導數，再由參數分離和構造函數，求出最值，即可得到所求的范圍.

(1)f(x)=ax+1xlnx的導數為f′(x)=a1lnx，

可得f(x)的圖象在A(1,f(1))處的切線斜率為a1，

由切線與直線xy=0平行，可得a1=1，

即a=2,f(x)=2x+1xlnx，

f′(x)=1lnx，

由f′(x)>0,可得0<x<e,由f′(x)<0，可得x>e，

則f(x)在(0,e)遞增,在(e,+∞)遞減，

可得f(x)在x=e處取得極大值，且為e+1，無極小值；

(2)可設,若∈(0,+∞)，

由,可得，

即有恒成立，設在(0,+∞)為增函數，

即有g′(x)=1lnx2mx0對x>0恒成立，

可得在x>0恒成立，

由的導數為得：

當h′(x)=0,可得，

h(x)在(0, )遞減,在(,+∞)遞增，

即有h(x)在x=處取得極小值,且為最小值

可得，

解得

則實數m的取值范圍是