Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a₂＞a₃=1，（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）＞0，則正整數(shù)n的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先確定q的范圍，可得到當(dāng)n＞3時(shí)，n＞3時(shí)，有a_n-

1

an

＜0，再用q表示出a₁，…，a₅，進(jìn)而得到（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

+（a₅-

1

a5

）=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)公比為q，a₂＞a₃=1，則有1＞q＞0
可知n＞3時(shí)，有a_n-

1

an

＜0
a₃=a₁q²=1得a₁=

1

q2

則有a₅=a₁q⁴=q²=

1

a1

，同理有a₂=

1

a4

得（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

+（a₅-

1

a5

）=0
∴不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）＞0成立的最大自然數(shù)n等于6
故答案為6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)．考查運(yùn)算能力和遞推關(guān)系．