Question

某私營企業家準備投資1320萬元新辦一所完全中學（含教師薪金）．對教育市場進行調查后，得到了下面的數據（以班為單位）：

學段	班 級 學生數	配 備 教師數	硬件建設 （萬元）	教師年薪 （萬元）
初中	40	2.5	25	3.2萬元∕人
高中	45	4.0	50	4.0萬元∕人

根據教育、物價、財政等部門的有關規定，在達到辦學要求的前提下，初中每人每年可收取學費7000元，高中每人每年可收取學費8000元．那么第一年開辦初中班和高中班各多少個，收取的學費額最多？（注：一個學校辦學規模以20至30個班為宜，教師實行聘任制）

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：設出二元變量，建立約束條件和目標函數，利用線性規劃的知識進行求解．

解答： 解：設開辦初中班x個，高中班y個，收取的學費總額為z萬元．
根據題意，有 x≥0，y≥0，且x、y∈Z；                  ①
20≤x+y≤30；                                       ②
25x+50y+2.5×3.2x+4.0×4.0y≤1320，
即 x+2y≤40．③
目標函數為 z=0.7×40 x+0.8×45 y=28 x+36 y，可行域如圖：
把z=28 x+36 y變形為y=-

7

9

x+

z

36

，
得到斜率為-

7

9

，在y軸上的截距為

z

36

，隨z
變化的一簇平行直線．由圖象可以看到，當直
線z=28 x+36 y經過可行域上的點A時，z最大．
解方程組 

x+y=30 x+2y=40

得x=20，y=10，
即點A的坐標為（20，10），
所以 z_max=28×20+36×10=920．
由此可知，開辦20個初中班和10個高中班，收取的學費總額最多，為920萬元．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．