Question

【題目】四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為的中點，平面，與平面所成的角的正弦值為．

（1）在棱上求一點，使平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）分別取PD，PC的中點F，G，由三角形中位線定理及平行公理可得四邊形AEGF為平行四邊形，得AF∥EG，由線面平行的判定可得AF∥平面PEC，則PD的中點F即為所求；

（2）由已知可得∠CPE即為PC與平面PAB所成的角，求解直角三角形得到PA＝2，過D作BA的延長線的垂線，垂足為H，過H作PE的垂線，垂足為K，連接KD，可得∠DKH即為所求的二面角的平面角，然后求解直角三角形得答案．

（1）分別取PD，PC的中點F，G，則FG∥CD∥AB，，

∴四邊形AEGF為平行四邊形，則AF∥EG，又FG平面PEC，

∴AF∥平面PEC，

∴PD的中點F即為所求；

（2）由PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD，

∵E為AB中點，且BC＝2BE＝2，∠CBE＝60°，∴CE⊥AB．

∴∠CPE即為PC與平面PAB所成的角，

在Rt△PEC中，，即，

解得：PA＝2，

過D作BA的垂線，垂足為H，過H作PE的垂線，垂足為K，連接KD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH，

又DH⊥BA，∴DH⊥平面PBA，

∴DH⊥PE，則PE⊥平面DHK，得PE⊥DH，

∴∠DKH即為所求的二面角的平面角，

在Rt△DHK中，，

由于PEHK＝EHPA，∴，

從而，

∴，

即二面角D﹣PE﹣A的余弦值為．