Question

【題目】已知橢圓: 的左右焦點分別 ，過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點，滿足.

（1）求橢圓的離心率.

（2）是橢圓短軸的兩個端點，設點是橢圓上一點（異于橢圓的頂點），直線分別與軸相交于兩點，為坐標原點，若，求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在橢圓的方程中，令可得點A的縱坐標，即，然后根據可求得離心率．（2）設，于是可得直線MP和NP的方程，進而得到點R和點Q的橫坐標，然后根據可得，于是，故得，從而得到橢圓的方程．

（1）由題意得，點的橫坐標為，

又點在橢圓上，

∴，

解得，

∴，

∴，

整理得，

解得或（舍去），

∴．

（2）設，

則直線MP的方程為，

令，得，即點R的橫坐標為．

同理可得直線NP的方程為，

令得到Q點的橫坐標為

∴，

∴，

∴ ，

∴橢圓的方程為．