Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f（x），當x∈（0，+∞）時的解析式為f（x）=﹣x2+4x﹣3．
（1）求這個函數在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據圖象直接寫出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＜0時，﹣x＞0，∵f（x）為R上的奇函數，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+4（﹣x）﹣3]=x2+4x+3，

即x＜0時，f（x）=x2+4x+3．

當x=0時，由f（﹣x）=﹣f（x）得：f（0）=0，

所以，f（x）=

（2）解：作出f（x）的圖象（如圖所示）

數形結合可得函數f（x）的減區間：

（﹣∞，﹣2）、（2，+∞）；增區間為[﹣2，0）、（0，2]．

【解析】（1）根據當x∈（0，+∞）時的解析式，利用奇函數的性質，求得x≤0時函數的解析式，從而得到函數在R上的解析式．（2）根據函數的解析式、奇函數的性質，作出函數的圖象，數形結合可得函數f（x）的單調區間．