Question

【題目】已知命題p：x∈R，kx2+1≤0，命題q：x∈R，x2+2kx+1＞0．

（1）當k=3時，寫出命題p的否定，并判斷真假；

（2）當p∨q為假命題時，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）[1，+∞）.

【解析】試題分析：（1）當k=3時，命題p的否定￢p：x∈R，3x2+1＞0，利用二次函數的單調性或實數的性質即可判斷出真假．

（2）當p∨q為假命題時，p與q都為假命題，可得￢p：x∈R，kx2+1＞0，是真命題，￢q：x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命題．即可得出．

試題解析：命題p：x∈R，kx2+1≤0，命題q：x∈R，x2+2kx+1＞0．

（1）當k=3時，命題p的否定￢p：x∈R，3x2+1＞0，是真命題．

（2）當p∨q為假命題時，p與q都為假命題，

∴￢p：x∈R，kx2+1＞0，是真命題，￢q：x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命題．

∴，或k=0，1＞0；且△=4k2-4≥0，

解得k≥1．

∴實數k的取值范圍是[1，+∞）．