Question

【題目】知函數．

（1）當時，求的單調區間；

（2）設函數，若是的唯一極值點，求．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增；在上單調遞減；（2）

【解析】

（1）當時， ，定義域為，求導，解，即可得出單調性．

（2）由題意可得：，求導得，由于是的唯一極值點，則有以下兩種情形：情形一：對恒成立．情形二：對恒成立．設，對分類討論，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解：（1）當時， ，定義域為．

，

解，解得．

∴函數在上單調遞增；在上單調遞減．

（2）由題意可得：，．

，．

由于是的唯一極值點，則有以下兩種情形：

情形一：對恒成立．

情形二：對恒成立．

設．．

①當時，．則．

可得時，函數取得極小值即最小值，∴．滿足題意．

②當時，．在單調遞增．

又．∴存在，使得．

當時，，在單調遞增，∴，這與題意不符．

③當時，設．，

令，解得．

可得在上單調遞減；在上單調遞增．

i）當時，，由在上單調遞減，

可得，在上單調遞減，

∴，這與題意矛盾，舍去．

ii）當時， ，由的單調性及，

可知：時，都有．

又在上單調遞增，，

則存在，使得．

∴時，，此時單調遞減，

∴，這與題意矛盾，舍去．

綜上可得：．