Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為的坐標滿足圓方程，且圓心滿足.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓于、兩點，過與垂直的直線交圓于、兩點，為線段中點，若的面積 ，求的值.

Answer 1

【答案】（1），（2）.

【解析】

（1）根據的坐標滿足圓方程可得到的值，圓心滿足，故圓心在橢圓上，將其代入可得橢圓方程；

（2）由題意可知，與直線平行，故點到直線的距離即為點到直線的距離，從而可以用表示出點到直線的距離，再用計算出弦長，從而得出關于的方程，進而得出結果.

解：（1）因為的坐標滿足圓方程，

故當時，，

即，故，

因為圓心滿足，

所以點在橢圓上，

故有，

聯立方程組，解得，

所以橢圓方程為；

（2）因為直線交圓于、兩點，為線段中點，

所以與直線垂直，

又因為直線與直線垂直，

所以與直線平行，

所以點到直線的距離即為點到直線的距離，

即點到直線的距離為，

設點

聯立方程組，

解得，

由韋達定理可得，

，

所以，

所以的面積為，

所以，

即，

兩邊同時平方，化簡得，

解得或（舍）

故.