Question

【題目】如圖所示的五面體中，平面平面, ,,∥，,，．

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）設點為線段上的動點，求證：與不垂直．

Answer 1

【答案】（I）（II）見解析（III）見解析

【解析】

（Ⅰ）取AD中點N，連接EN．可得EN⊥AD．由平面ADE⊥平面ABCD，利用面面垂直的性質可得EN⊥平面ABCD．再由已知求得梯形ABCD得面積，代入棱錐體積公式求解；（Ⅱ）由AB∥CD，得CD∥平面ABFE．進一步得到CD∥EF．再由線面平行的判定可得EF∥平面ABCD；（Ⅲ）連接MN，假設EM⊥AM．結合（Ⅰ）利用反證法證明EM與AM不垂直．

（Ⅰ）取AD中點，連接．

在中，，

所以.

因為平面平面，

平面平面，

平面ADE,

所以平面．

又因為，，所以.

因為∥，，，

所以.

所以.

（Ⅱ）因為∥，平面，平面，

所以∥平面．

又因為平面，平面平面，

所以∥．

因為平面，平面，

所以∥平面．

（Ⅲ）連接，假設.

由（Ⅰ）知平面，

因為平面,所以．

因為, 且，

所以平面．

因為平面，

所以．

在△中，，

所以.

所以．

這與矛盾．

所以假設不成立，即與不垂直．