Question

【題目】已知p：x2≤5x－4，q：x2－(a＋2)x＋2a≤0.

(1)若p是真命題，求對應x的取值范圍；

(2)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x的取值范圍為[1,4]（2）a的取值范圍為[1,4]

【解析】

（1）根據一元二次不等式的解法，即可求命題中對應的范圍；
（2）利用是的必要不充分條件，建立條件關系，即可求的取值范圍．

1)因為x2≤5x－4，

所以x2－5x＋4≤0，

即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4，

即對應x的取值范圍為[1,4]．

(2)設p對應的集合為A＝{x|1≤x≤4}．

由x2－(a＋2)x＋2a≤0，

得(x－2)(x－a)≤0.

當a＝2時，不等式的解為x＝2，對應的解集為B＝{2}；

當a>2時，不等式的解為2≤x≤a，對應的解集為B＝{x|2≤x≤a}；

當a<2時，不等式的解為a≤x≤2，對應的解集為B＝{x|a≤x≤2}．

若p是q的必要不充分條件，則BA，

當a＝2時，滿足條件；

當a>2時，因為A＝{x|1≤x≤4}，

B＝{x|2≤x≤a}，

要使BA，則滿足2<a≤4；

當a<2時，因為A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a≤x≤2}，要使BA，則滿足1≤a<2.

綜上，a的取值范圍為[1,4]．