Question

已知圓C的方程為：x²+y²-2mx-2y+4m-4=0，（m∈R）．
（1）試求m的值，使圓C的面積最小；
（2）求與滿足（1）中條件的圓C相切，且過點（1，-2）的直線方程．

Answer 1

分析：（1）通過配方先將圓的一般方程化成標準方程，利用二次函數的最值，可得m的值．
（2）根據（1）的結論確定圓的方程，然后設出直線方程，利用直線與圓相切的條件，建立關系，求得直線方程．

解答：解：配方得圓的方程：（x-m）²+（y-1）²=（m-2）²+1
（1）當m=2時，圓的半徑有最小值1，此時圓的面積最小．
（2）當m=2時，圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=1
設所求的直線方程為y+2=k（x-1），即kx-y-k-2=0
由直線與圓相切，得

|2k-1-k-2|

k2+1

=1，k=

4

3

所以切線方程為y+2=

4

3

(x-1)，即4x-3y-10=0
又過點（1，-2）且與x軸垂直的直線x=1與圓也相切
所發所求的切線方程為x=1與4x-3y-10=0．

點評：本題考查了圓的方程以及直線與圓的位置關系，同時考查了二次函數的最值問題，在求直線方程時注意考慮斜率不存在的情況，是個基礎題．