Question

【題目】如圖，PD⊥平面ABCD，DC⊥AD，BC∥AD，PD：DC：BC=1：1： ．

（1）若AD=DC，求異面直線PA，BC所成的角；
（2）求PB與平面PDC所成角大小；
（3）求二面角D﹣PB﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得異面直線PA，BC所成的角為直線PA與AD所成的角為∠PAD=45°
（2）解：由已知得BC與平面PDC垂直，所以PB與平面PDC所成角為∠CPB=45°
（3）解：取PC中點E，連接DE，則DE⊥PC

由于BC⊥平面PDC，所以PBC⊥平面PDC，從而DE⊥平面C，做EF⊥PB于點F，連接DF，可得DF⊥PB

所以∠DFE為二面角D﹣PB﹣C的平面角．

計算可得DE= ，EF= ．

所以二面角D﹣PB﹣C的正切值為 ．

【解析】（1）根據異面直線所成角的定義進行求解，（2）根據直線和平面所成角的定義進行求解，（3）根據二面角的定義作出二面角的平面角進行求解．
【考點精析】關于本題考查的異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．