Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0時，有 ＞0．
（Ⅰ）證明f（x）在[﹣1，1]上是增函數；
（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，

則 ，

∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，

由已知 ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在[﹣1，1]上是增函數；

（Ⅱ）∵f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且在[﹣1，1]上是增函數，

∴不等式化為f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），

∴ ，解得 ；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函數，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值為f（1）=1，

要使f（x）≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1t2﹣2at≥0，

設g（a）=t2﹣2at，對a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，

∴ ，

∴t≥2或t≤﹣2或t=0．

【解析】本題考查的是奇函數和增減性相結合的問題，用定義去證明函數的單調性。一元二次函數在指定區間內的最值問題，對稱軸在指定區間內就能取到函數的最值，如果不在根據單調性去解決。