Question

【題目】已知函數（），.

（1）當時，與在定義域上的單調性相反，求b的取值范圍；

（2）設，是函數的兩個零點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1)根據導數判斷g(x)的單調性，然后再分析f(x)中b的取值范圍；(2)先分別表示出，再利用做差得，將其化簡為：；根據要證明的式子：我們可化為，再結合g(x)的性質，判斷函數值的正負即可

（1）∵，

∴

由題意可知，與的定義域均為，

∵，

∴在上單調遞減，

又時，與在定義域上的單調性相反，

∴在上單調遞增，

∴對恒成立，

即對恒成立，

∴只需，

∵，

∴（當且僅當時，等號成立），

∴，

∴b的取值范圍；

（2）由已知可得，

∴，

∴，

即，

∴，

從而

，

在上單調遞減，且，，

∴當時，，

∴，

又，

∴，

即，

即證.