Question

選修4-2矩陣與變換
（Ⅰ）已知矩陣A=

-1 a b 3

所對(duì)應(yīng)的線性變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求A^-1．
（Ⅱ）已知

e1

=

1 1

是矩陣B=

c 1 0 d

屬于特征值λ₁=2的一個(gè)特征向量，求矩陣B及其另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)榫仃嘇=

-1 a b 3

對(duì)應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，即直線l上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換后沒(méi)有變，因此取直線l上的兩點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行變換列出方程方程組解出a、b得到矩陣M，最后根據(jù)逆矩陣的公式可求出A^-1．
（II）根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為2，解出c=1且d=2，得B=

1 1 0 2

，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一個(gè)特征值為λ₂=1，由此即可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

解答：解：（I）在直線l上取兩點(diǎn)（

3

2

，0），（0，-3）．
因?yàn)?span id="kdunba7" class="MathJye">

-1 a b 3

•

3 2   0

=

- 3 2   3b 2

，

-1 a b 3

•

0   -3

=

-3a   -9

，…（6分）
∵A對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身，所以點(diǎn)（-

3

2

，

3

2

b），（-3a，-9）仍在直線l上．
代入直線方程得

-3- 3b 2 =3 -6a+9=3

，解之得

a=1 b=-4

可得矩陣A=

-1 1 -4 3

，運(yùn)用逆矩陣公式得
A^-1=

1

-3+4

3 -1 4 -1

=

3 -1 4 -1

…（10分）
（II）根據(jù)題意，

c 1 0 d

•

1   1

=2

1   1

∴

c+1=2 d=2

，解之得c=1且d=2，得B=

1 1 0 2

由B的特征多項(xiàng)式f（λ）=

.

λ-1 -1 0 λ-2

.

=0，解得矩陣B的另一個(gè)特征值λ₂=1
因此，

e2

=

1 0

是屬于特征值λ₂=1的特征向量．

點(diǎn)評(píng)：本題給出矩陣變換，求矩陣A的逆矩陣并求特征向量．主要考查了逆矩陣的求法、特征值與特征向量的計(jì)算的知識(shí)，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．