Question

（選修4-2 矩陣與變換）
變換T是將平面上每個點M（x，y）的橫坐標乘2，縱坐標乘4，變到點M'（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x²+y²=1在變換T的作用下變成了什么圖形？

Answer 1

分析：（I）伸壓變換矩陣的一般形式是

k  0 0  m

，（k、m是正數），其中將橫坐標變為原來的k倍、縱坐標變為原來的m倍，由此結合題意則不難得到所求變換T的矩陣；
（II）用

1

2

x代替x，

1

4

y代替y，代入圓C的方程化簡整理，即可得到變換后的方程，進而得到圓C在變換T的作用下變成的圖形．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得
T：

x y

→

x′ y′

=

2x 4y

=

2  0 0  4

x y

∴變換T的矩陣是

2  0 0  4

…（3分）
（Ⅱ）由x'=2x，y'=4y，得：x=

1

2

x′，y=

1

4

y′，
代入方程x²+y²=1，得：

1

4

x′2+

1

16

y′2=1
∴圓C：x²+y²=1在變換T的作用下變成了橢圓

x2

4

+

y2

16

=1…（7分）

點評：本題以伸壓變換為例，求單位圓在矩陣T的作出下變換成的圖形，著重考查了圓的方程、橢圓的標準方程和幾種特殊的矩陣變換的知識點，屬于基礎題．