Question

已知a≥0，b≥0，且a+b=1，則

1

3a+b

+

2

b+3

的最小值為

1

．

Answer 1

分析：由于a+b=1，可得a=1-b，

1

3a+b

+

2

b+3

=

1

3-2b

+

2

b+3

，令f（b）=

1

3-2b

+

2

b+3

（1≥b≥0），利用導數研究其單調性即可得出．

解答：解：∵a+b=1，∴a=1-b，∴

1

3a+b

+

2

b+3

=

1

3-2b

+

2

b+3

，
令f（b）=

1

3-2b

+

2

b+3

（1≥b≥0），
∴f′（b）=

2

(3-2b)2

-

2

(b+3)2

=

6b(6-b)

(3-2b)2(b+3)2

≥0，（0≤b≤1）
∴函數f（b）在[0，1]上單調遞增，因此b=0時f（b）取得最小值，f（0）=

1

3

+

2

3

=1
故答案為1．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性和最值，屬于基礎題．