Question

已知a≥0，b≥0，且有{(x，y)

x≥0 y≥0 x+2y≤2

}⊆{(x，y)|ax+by≤4}，則以a，b為坐標的點P（a，b）所形成的平面區域的面積等于（　　）

A．1

B．2

C．4

D．8

Answer 1

分析：先依據不等式組

x≥0 y≥0 x+2y≤2

，結合二元一次不等式（組）與平面區域的關系畫出其表示的平面區域，再利用求最優解的方法，結合題中條件可轉換成：“恒有ax+by≤4”得出關于a，b的不等關系，最后再據此不等式組表示的平面區域求出面積即可．

解答：解：令z=ax+by，
∵ax+by≤4恒成立，
即函數z=ax+by在可行域要求的條件下，z_max=4恒成立．
當直線ax+by-z=0過點（2，0）或點（0，1）時，0≤a≤2，0≤b≤4．
點P（a，b）形成的圖形是長為4，寬為2的長方形．
∴所求的面積S=2×4=8．
故選D．

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．