Question

已知a≥0，b≥0，a+b=1，則

a+ 1 2

+

b+ 1 2

取值范圍是

[

2 + 6

2

，2]

．

Answer 1

分析：根據(jù)a和b的等量關(guān)系消去b，然后令

a+ 1 2

+

b+ 1 2

=

a+ 1 2

+

3 2 -a

=y，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在[0，1]上的最值，從而求出所求的值域．

解答：解：a≥0，b≥0，a+b=1，0≤a≤1，0≤b≤1，b=1-a

a+ 1 2

+

b+ 1 2

=

a+ 1 2

+

3 2 -a

=y
對y求導(dǎo)，y'=

1

2 a+ 1 2

-

1

2 3 2 -a

當(dāng)y'=0時(shí)取得極值，即

1

2 a+ 1 2

=

1

2 3 2 -a

，解得a=

1

2

∈[0，1]，此時(shí)b=1-a=

1

2

，此時(shí)y=2
而端點(diǎn)值當(dāng)x=0時(shí)y=

2 + 6

2

，當(dāng)x=1時(shí) y=

2 + 6

2

∴

a+ 1 2

+

b+ 1 2

的取值范圍為：[

2 + 6

2

，2]
故答案為：[

2 + 6

2

，2]

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的值域，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．