Question

【題目】橢圓將圓的圓周分為四等份，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且的中點為，線段的垂直平分線為，直線與軸交于點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求解A點坐標，代入橢圓方程，結(jié)合離心率為，即得解.

（2）設(shè)，，利用點差法得到，得到直線的方程為，得到，利用在橢圓內(nèi)部得到范圍，即得解.

（1）不妨取第一象限的交點為.

由橢圓將圓的圓周分為四等份，知.

所以.

因為點在橢圓上，所以.①

因為，所以.②

①②聯(lián)立，解得，.

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，則

兩式相減，得.

又因的中點為，所以，.

所以直線的斜率.

當(dāng)時，直線的方程，直線即軸，此時.

當(dāng)時，直線的斜率.

所以直線的方程為，即.

令，則.

因為點在橢圓內(nèi)部，所以.

所以，所以.

綜上所述，的取值范圍為.