Question

【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是CD的中點，將三角形ADE沿AE翻折到圖②的位置，使得平面AED′⊥平面ABC．

（1）在線段BD'上確定點F，使得CF∥平面AED'，并證明；

（2）求△AED'與△BCD'所在平面構成的銳二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）點F是線段BD'的中點，見解析（2）．

【解析】

（1）取BD'的中點,記AE，BC延長線交于點M，由平面幾何知識可得點C是BM的中點，可得CF∥MD'，可得CF∥平面AED'；

（2）先根據面面垂直的性質可得BE⊥平面AED'，在平面AED'內作EN⊥MD'，可得∠BNE就是△AED'與△BCD'所在平面構成的銳二面角的平面角，最后解三角形可得銳二面角的正切值.

（1）點F是線段BD'的中點時，CF∥平面AED'．

證明：記AE，BC延長線交于點M，

∵AB＝2EC，∴點C是BM的中點，

∴CF∥MD'，而MD'在平面AED'內，CF在平面AED'外，

∴CF∥平面AED'；

（2）在矩形ABCD中，AB＝2，CD＝1，BE⊥AE，

∵平面AED'⊥平面ABC，且交線是AE，∴BE⊥平面AED'，

在平面AED'內作EN⊥MD'，連接BN，則BN⊥MD′．

∴∠BNE就是△AED'與△BCD'所在平面構成的銳二面角的平面角，

求解三角形可得，，

∴．