Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

2

，且過點A（

3

2

，

1

2

）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知l：y=kx-1，是否存在k使得點A關于l的對稱點B（不同于點A）在橢圓C上？若存在求出此時直線l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）通過橢圓的焦距求出c，利用a、b、c的關系以及點的坐標適合橢圓方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）法1：當k=0時，驗證點B(

3

2

，-

5

2

)不在橢圓上；當k≠0時，可設直線AB：y=-

1

k

(x-

3

2

)+

1

2

，代入

x2

3

+y2=1利用韋達定理，以及對稱綜上，說明不存在k滿足條件．
法2：設AB：x=-ky+m，代入橢圓方程

x2

3

+y2=1利用韋達定理，以及對稱知識，說明k=1，導出對稱點B與點A重合，不合題意，不存在k滿足條件．
法3：由l：y=kx-1可知直線l恒過點P（0，-1），設點A關于l的對稱點B坐標為（x₀，y₀），
利用|PA|=|PB|，求出B(-

3

2

，

1

2

)與A關于x=0對稱，不存在k滿足條件．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

2

，∴c=

2

，則a²-b²=2…①，
橢圓過點A（

3

2

，

1

2

）．

9

4a2

+

1

4b2

=1…②，解①②可得a²=3，b²=1，
∴橢圓的方程：

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）法1：當k=0時，直線l：y=-1，點B(

3

2

，-

5

2

)不在橢圓上；
當k≠0時，可設直線AB：y=-

1

k

(x-

3

2

)+

1

2

，即2x+2ky-3-k=0
代入

x2

3

+y2=1整理得（4k²+12）y²-4k（k+3）y+（k+3）²-12=0
因為y1+y2=

4k(k+3)

4k2+12

，
所以x1+x2=(k+3)-(ky1+ky2)=k+3-

4k2(k+3)

4k2+12

=

12(k+3)

4k2+12

若A，B關于直線l對稱，
則其中點(

6(k+3)

4k2+12

，

2k(k+3)

4k2+12

)在直線y=kx-1上
所以

2k(k+3)

4k2+12

=

6k(k+3)

4k2+12

-1，解得k=1
因為此時點A(

3

2

，

1

2

)在直線l上，
所以對稱點B與點A重合，不合題意
所以不存在k滿足條件．
法2：設AB：x=-ky+m，代入橢圓方程

x2

3

+y2=1化簡得（k²+3）y²-2kmy+m²-3=0，yA+yB=

2km

k2+3

，所以xA+xB=-

2k2m

k2+3

+2m=

6m

k2+3

若A，B關于直線l對稱，則其中點(

3m

k2+3

，

km

k2+3

)在直線y=kx-1上，
所以

km

k2+3

=

3km

k2+3

-1，即2km=k²+3．
又A(

3

2

，

1

2

)在直線AB：x=-ky+m上，
所以2m-k=3，
消m得（3+k）k=k²+3，所以k=1
因為此時點A(

3

2

，

1

2

)在直線l上，
所以對稱點B與點A重合，不合題意，
所以不存在k滿足條件．
法3：由l：y=kx-1可知直線l恒過點P（0，-1），
設點A關于l的對稱點B坐標為（x₀，y₀），
因為點A，B關于l對稱，所以|PA|=|PB|
所以x02+(y0+1)2=

9

2

①
又B在橢圓上，所以

x02

3

+y02=1②
聯立①②解得

x0= 3 2 y0= 1 2

或

x0=- 3 2 y0= 1 2

因為B(

3

2

，

1

2

)與A點重合，舍，
因為B(-

3

2

，

1

2

)與A關于x=0對稱
所以不存在k滿足條件．

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的對稱關系的應用，考查直線與圓錐曲線的位置關系．