Question

【題目】函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) f(1)＝0;(2)見解析.（3）{x|－15<x<17且x≠1}.

【解析】試題分析：（1）抽象函數求具體指，用賦值法；（2）根據定義求證函數的奇偶性找f(－x)和f(x)的關系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2f(|x－1|)<f(16).再根據單調性列出不等式求解即可.

(1)∵對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．

(3)依題設有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函數，∴f(x－1)<2f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函數．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.

∴x的取值范圍是{x|－15<x<17且x≠1}．