Question

設函數，；，.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，求函數的最大值；

（3）求證：

 

Answer 1

（1）的定義域為，， 1分

令，

ⅰ）當時： 的增區間為；

ⅱ）當時：的減區間為；的增區間為.

（2）當時， 在上的最大值為.

（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）的定義域為，，

分類討論如下：

ⅰ）當時：

在區間上，恒成立，故的增區間為；

ⅱ）當時：

在區間上，恒成立，故的減區間為；

在區間上，恒成立，故的增區間為.

（2）令，，則，利用“表解法”確定函數的最值.

表：

	遞減	極小值	遞增

 

（3）由（1）可知:當a=1時，

轉化

由（2）已證:

得證.

試題解析：（1）的定義域為，， 1分

令，

ⅰ）當時：

在區間上，恒成立，故的增區間為； 2分

ⅱ）當時：

在區間上，恒成立，故的減區間為； 3分

在區間上，恒成立，故的增區間為. 4分

（2）ⅰ）時，，所以； 5分

ⅱ）時，易知，于是：，，

由（1）可知， 下證，即證明不等式在上恒成立.

（法一）由上可知：不等式在上恒成立，若，則，故

，即當時，，從而，故當時，恒成立，即. 7分

（法二）令，，則，列表如下：

表：

	遞減	極小值	遞增

 

由表2可知：當時，，

故恒成立，即. 7分

由于，且，故函數區間內必存在零點. 8分

又當時，，指數函數為增函數為增函數，

同理當時，，指數函數為減函數也為增函數，

于是，當時， 必為增函數，

從而函數在區間內必存在唯一零點，不妨記為，則，

易知當時，，此時單調遞減；

當時，，此時單調遞增，

又易知，故；

綜上，當時， 在上的最大值為. 10分

（3）由（1）可知:當a=1時，

12分

由（2）已證:

故得證 14分

考點：1.應用導數研究函數的單調性；2.應用導數研究函數的單調性、極(最)值，3.應用導數證明不等式4.轉化與化歸思想.