Question

【題目】已知函數．

（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）已知不等式在上恒成立，求實數的最大值；

（3）當時，求函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）9個

【解析】

(1) 當時，可得是偶函數，當時，可得是非奇非偶函數.
(2) 當時, ,即將問題轉化為在上恒成立，設，只要使．然后求出的導數，求出函數的最小值.
（3）當時，，得到得或，問題即求和和三個方程總的解的個數．

解：（1）函數定義域為，關于原點對稱．

當時，，，

，

則是定義在上的偶函數；

當時，，，

且，

所以是非奇非偶函數．

（2）當時，，即已知在上恒成立，

即在上恒成立，

令，只要使．

，因為，

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

即的最小值是，

解不等式，得．所以實數的最大值是．

（3）當時，，解得或，

問題即求和和三個方程總的解的個數．

由（1）得函數是偶函數，

當時，，，

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

所以，且

由偶函數的性質，在上單調遞減，

在上單調遞增，在上單調遞減，

在上單調遞減，在上單調遞增

方程有3個解；方程有2個解；

方程有4個解；所以函數的零點個數是9個．