Question

【題目】己知函數f（x）對x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6，若f（x）≥lnx恒成立，則實數m的取值范圍是_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據條件利用解方程組法求出f（x）的解析式，然后由f（x）≥lnx恒成立，可得m恒成立，構造函數，求出g（x）的最小值，可進一步求出m的范圍．

∵函數f（x）對x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6①，

∴將﹣x換為x，得f（﹣x）+2f（x）＝﹣mx﹣6②，

∴由①②，解得f（x）＝﹣mx﹣2．

∵f（x）≥lnx恒成立，∴m恒成立，

∴只需m．

令，則g'（x），

令g'（x）＝0，則x，

∴g（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，

∴，∴m≤﹣e，

∴m的取值范圍為（﹣∞，﹣e]．

故答案為：（﹣∞，﹣e]．