Question

【題目】已知橢圓E：y2＝1（m＞1）的離心率為，過點P（1，0）的直線與橢圓E交于A，B不同的兩點，直線AA0垂直于直線x＝4，垂足為A0．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）求證：直線A0B恒過定點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）利用即可得解；

（Ⅱ）設AB方程并與橢圓聯立，利用韋達定理化簡直線A0B的方程為點斜式形式，得到定點.

（Ⅰ）∵橢圓E：y2＝1（m＞1）的離心率為，

∴m＝4，

（Ⅱ）

當直線AB與x軸不重合時，設其方程為x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），

由（m2+4）y2+2my﹣3＝0．

∴，．

因為A0（4，y1），，

所以直線A0B的方程為：y﹣y1，

y

．

∵，∴，

∴直線A0B的方程為：y，

當直線AB與x軸重合時，直線A0B與x軸重合，

綜上，直線A0B恒過定點（，0）