Question

設向量a=(x,2),b=(x+n,2x)(n∈N^*),函數y=a·b在［0,1］上的最小值與最大值的和為a_n,又數列{b_n}滿足:nb₁+(n-1)b₂+…+2b_n-1+b_n=()^n-1+()^n-2+…++1.

(1)求證:a_n=n-1;

(2)求b_n的表達式;

(3)c_n=-a_n·b_n,試問數列{c_n}中,是否存在正整數k,使得對于任意的正整數n,都有c_n≤c_k成立?證明你的結論.

Answer 1

(1)證明:y=a·b=x²+(n+4)x-3,因為對稱軸x=,所以在［0,1］上為增函數.

所以a_n=(-3)+(n+2)=n-1.

(2)解:由nb₁+(n-1)b₂+…+2b_n-1+b_n=()^n-1+()^n-2+…++1,

得(n-1)b₁+(n-2)b₂+…+b_n-1=()^n-2+()^n-3+…++1,

兩式相減,得b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=()^n-1=S_n,

當n=1時,b₁=S₁=1;

當n≥2時,b_n=S_n-S_n-1=()^n-2,

即b_n=

(3)解:由(1)與(2)得

c_n=-a_n·b_n=

設存在正整數k,使得對于任意的正整數n,都有c_n≤c_k成立,

當n=1時,c₂-c₁=＞0c₂＞c₁.

當n≥2時,c_n+1-c_n=()^n-2·,

所以當n＜5時,c_n+1＞c_n;

當n=5時,c_n+1=c_n;

當n＞5時,c_n+1＜c_n.

所以存在正整數k=5,使得對于任意的正整數n,都有c_n≤c_k成立.