Question

設向量

a

=(x，2)，

b

=(x+n，2x-1) (n∈N+)，函數y=

a

•

b

在[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，又數列{b_n}滿足：nb1+(n-1)b2+…+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+(

9

10

)+1
（1）求證：a_n=n+1；
（2）求b_n的表達式；
（3）c_n=-a_n•b_n，試問數列{c_n}中，是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有c_n≤c_k成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由y=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2在[0，1]上為增函數，知a_n=n+1
（2）由nb1+(n-1)b2++bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2++(

9

10

)+1=10[1-(

9

10

)n](n-1)b1+(n-2)b2++bn-1=(

9

10

)n-2+(

9

10

)n-3++(

9

10

)+1=10[1-(

9

10

)n-1]可bn=

1    n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2  n≥2

（3）由題意知cn=-

n+1

10

•(

9

10

)n-2，

ck ck-1 ≥1 ck ck+1 ≥1

?k=9或8，由此可知存在k=8，9使得c_n≤c_k對所有的n∈N*成立

解答：解：（1）∵

a

=(x，2)，

b

=(x+n，2x-1) (n∈N+)，
∴函數y=

a

•

b

=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2
判斷知，此函數在[0，1]上為增函數，
∴a_n=-2+1+4+n-2=n+1
（2）nb1+(n-1)b2+…+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+(

9

10

)+1=10[1-(

9

10

)n](n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(

9

10

)n-2+(

9

10

)n-3+…+(

9

10

)+1=10[1-(

9

10

)n-1]
兩式相減得：b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1
由上式得b1+b2+…+bn-1=(

9

10

)n-2
兩式作差得bn=-

1

10

•(

9

10

)n-2，n≥2
又n=1時，b₁=1
所以bn=

1    n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2  n≥2

（3）n≥2時，cn=

n+1

10

•(

9

10

)n-2，
令

ck ck-1 ≥1 ck ck+1 ≥1

?k=9或8
驗證知，當n=1，2也滿足
故存在k=8，9使得c_n≤c_k對所有的n∈N*成立

點評：本題考查數列的性質及其應用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答．