Question

已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立，且當(dāng)時(shí)，

,.

（1）求的值；

（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明；

（3）若對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，總能找到一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，則稱函數(shù)在處連續(xù)。

試證明：在處連續(xù)．

 

Answer 1

（1）4；（2）遞增，證明見解析；（3）祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）由條件，利用賦值法求f（5）．

（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，將f（x1）轉(zhuǎn)化為條件形式，然后進(jìn)行推理證明．

（3）根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義，任意給定的正實(shí)數(shù)ε，確定一個(gè)正實(shí)數(shù)σ，使得當(dāng)不等式|x-x0|＜σ時(shí)，|f（x）-f（x0）|＜ε成立即可．

試題解析：（1） ；

（2）設(shè)，則

在上單調(diào)遞增；

（3）令，得 對(duì)任意

又

要證 對(duì)任意

當(dāng)時(shí)，取，則當(dāng)即時(shí)，由單增可得

即；

當(dāng)時(shí)，必存在使得 取，則當(dāng)

即時(shí)，有

而

綜上，在處連續(xù)．

考點(diǎn)：抽象函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用．