Question

已知點O是原點，直線y=kx+b與圓x²+y²=

8

3

相交于兩點M，N．若b²=2（k²+1），則

OM

•

ON

=（　�。�

• A、-

  2 2

  3

• B、-

  4

  3

• C、

  4

  3

• D、0

Answer 1

分析：根據(jù)直線方程設(shè)出兩點M，N的坐標(biāo)，將直線方程和圓方程聯(lián)立，使用根與系數(shù)的關(guān)系求出 x₁+x₂ 和x₁•x₂，
代入

OM

•

ON

　的解析式，進行計算．

解答：解：設(shè)M（x₁，kx₁+b），N（x₂，kx₂+b），將直線方程和圓方程聯(lián)立方程組并化簡得
（1+k²）x²+2kbx+b²-

8

3

=0，∴x₁+x₂=

-2kb

1+k2

，x₁•x₂=

b2- 8 3

1+k2

，
則

OM

•

ON

=（x₁，kx₁+b）•（x₂，kx₂+b）=x₁•x₂+k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b² 
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=b²+

-8

3

+kb•

-2kb

1+k2

+b² 
=-

8

3

+

2b2-2k2b2

1+k2

，
把b²=2（k²+1）代入式子可得

OM

•

ON

=

4

3

，

點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用．