Question

已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點，設直線l與拋物線交于A、B兩點，與拋物線的準線交于M點，

MF

=λ

FB

（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線l斜率
（2）若點A、B在x軸上的射影分別為A₁，B₁且|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差數列求λ的值
（3）設已知拋物線為C1：y²=x，將其繞頂點按逆時針方向旋轉90°變成C₁′．圓C2：x²+（y-4）²=1的圓心為點N．已知點P是拋物線C₁′上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C′₁于T，S，兩點，若過N，P兩點的直線l垂直于TS，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先確定p=λ（x₂-

p

2

），進而求出B的坐標，即可求直線l的斜率；
（2）直線方程代入拋物線方程，求得A₁、B₁的橫坐標，根據|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差數列，可得2|

OF

|=|

B1F

|+2|

A1F

|，從而可得x₂-2x₁=

p

2

，由此可求λ的值；
（3）設過點P的圓C₂的切線方程，可得PS，PT的斜率是方程的兩根，利用韋達定理及向量的數量積，即可得到結論．

解答：解：依題意設拋物線方程為y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的斜率為k，k＞0，M的縱坐標為y₀，
則F（

p

2

，0）準線方程為x=-

p

2

直線l的方程為y=k（x-

p

2

），M（-

p

2

，y₀），y₂＞0
∵

MF

=λ

FB

，∴（p，-y₀）=λ（x₂-

p

2

，y₀），故p=λ（x₂-

p

2

）
（1）若λ=1，由p=λ（x₂-

p

2

），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=

3p

2

，y₂=

3

p，
∴B（

3p

2

，

3

p）
∴直線l的斜率k=

3 p

3p 2 - p 2

=

3

；
（2）直線l的方程代入y²=2px，消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0，則x₁x₂=

p2

4

∵x2=

p

λ

+

p

2

，∴x1=

p2

4x2

=

λp

2λ+4

∵|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差數列
∴2|

OF

|=|

B1F

|+2|

A1F

|，
∴(x2-

p

2

)+2(

p

2

-x1)=p
∴x₂-2x₁=

p

2

將x2=

p

λ

+

p

2

和x1=

λp

2λ+4

代入上式得

1

λ

=

λ

λ+2

，∴λ=2；
（3）設P（x₀，x₀²），S（x₁，x₁²），T（x₂，x₂²），由題意得x₀≠0，x₀≠±1，x₁≠x₂．
設過點P的圓C₂的切線方程為y-x₀²=k（x-x₀），即y=kx-kx₀+x₀²．①
則

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，
即（x₀²-1）k²+2x₀（4-x₀²）k+（x₀²-4）²-1=0．
設PS，PT的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂是上述方程的兩根，所以
k₁+k₂=

2x0(x02-4)

x02-1

，k₁k₂=

(x02-4)2-1

x02-1

．
將①代入y=x²，得x²-kx+kx₀-x₀²=0，
由于x₀是此方程的根，故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，
所以kST=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀，k_NP=

x02-4

x0

．
由MP⊥AB，得k_NP•k_ST=[

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀]•

x02-4

x0

=-1，解得x₀²=

23

5

，
即點P的坐標為（±

23 5

，

23

5

），所以直線l的方程為y=±

3 115

115

x+4．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查等差數列的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．