Question

如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，為中點(diǎn),平面

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

(1) (2)

試題分析：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)．
為正三角形，．
在正三棱柱中，  平面平面，
平面．
取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005642875435.png" style="vertical-align:middle;" />軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．
，，
，． 平面．
（2）設(shè)平面的法向量為．
，．，，

令得
由（1）知平面，為平面的法向量．
   
二面角的余弦值為．
（3）由（2），為平面法向量，   
．
點(diǎn)到平面的距離．
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是能合理的建立坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，從而得到法向量的坐標(biāo)，借助于向量的數(shù)量積來(lái)求解，屬于基礎(chǔ)題。