【題目】五位同學各自制作了一張賀卡，分別裝入5個空白信封內，這五位同學每人隨機地抽取一封，則恰好有兩人抽取到的賀卡是其本人制作的概率是______________．
【答案】
【解析】
試題根據題意，首先由排列數公式分析可得5位同學每人隨機地抽取1張卡片的情況；進而分兩步分析5人中恰好有2人抽取到的賀卡是其本人制作的情況數目，①先在5人中抽出2人，使其抽取到的賀卡是其本人制作的，②分析抽到的都不是其本人制作的3人，由分步計數原理可得其情況數目，由等可能事件的概率公式，計算可得答案．
根據題意，共5張賀卡，5位同學每人隨機地抽取1張，有A55=120種情況，要滿足5人中恰好有2人抽取到的賀卡是其本人制作，可以先在5人中抽出2人，使其抽取到的賀卡是其本人制作的，有C52=10種情況，則剩余的3人，抽到的都不是其本人制作的，有2種情況，則5人中恰好有2人抽取到的賀卡是其本人制作的情況有10×2=20種，
其概率
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【題目】過
軸正半軸上的動點
作曲線
：
的切線，切點為
，
，線段
的中點為
，設曲線與
軸的交點為
．
（1）求
的大小及的軌跡方程；
（2）當動點到直線
的距離最小時，求
的面積．
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【題目】已知拋物線
的焦點為
，
為坐標原點，過點的直線
與
交于
、
兩點.
（1）若直線與圓
相切，求直線的方程；
（2）若直線與
軸的交點為
，且
，
，試探究：
是否為定值.若為定值，求出該定值，若不為定值，試說明理由.
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【題目】設
是數列
的前
項和，對任意
都有
成立（其中
是常數）.
（1）當
時，求：
（2）當
時，
①若
，求數列的通項公式：
②設數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“
數列”，如果
，試問：是否存在數列為“數列”，使得對任意，都有
，且
，若存在，求數列的首項
的所有取值構成的集合；若不存在．說明理由.
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【題目】某互聯網公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近
個月廣告投入量
（單位：萬元）和收益
（單位：萬元）的數據如下表：
月份 |
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廣告投入量 |
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收益 |
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他們分別用兩種模型①
，②
分別進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統計量的值：
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（Ⅰ）根據殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；
（Ⅱ）殘差絕對值大于
的數據被認為是異常數據，需要剔除：
（ⅰ）剔除異常數據后求出（Ⅰ）中所選模型的回歸方程
（ⅱ）若廣告投入量
時，該模型收益的預報值是多少？
附：對于一組數據
，
，……，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
.
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【題目】如圖，在四棱錐
中，側棱
底面
，底面是直角梯形，
∥
，
，且
，
，
是棱
的中點 ．
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）求平面與平面
所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）設點
是線段
上的動點，
與平面所成的角為
，求
的最大值．
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【題目】已知雙曲線
的左右頂點分別為
.直線
和兩條漸近線交于點
,點
在第一象限且
,
是雙曲線上的任意一點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)是否存在點P使得
為直角三角形？若存在,求出點P的個數；
(3)直線
與直線
分別交于點
,證明：以
為直徑的圓必過定點.
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