Question

【題目】如圖，正四棱柱的底面邊長為1，高為2，為線段的中點，求：

（1）三棱錐的體積；

（2）異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數值表示）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（或）

【解析】

（1）連接CM，根據M為AB中點，且正方形ABCD邊長為1，得到△BCM的面積為SS正方形ABCD．因為CC1⊥平面ABCD，是三棱錐C1﹣MBC的高，所以利用錐體體積公式，可得三棱錐C1﹣MBC的體積；

（2）連接BC1，正方形ABCD中，因為CD∥AB，所以∠C1MB（或其補角）為異面直線CD與MC1所成的角．Rt△MC1B中，可算出BC1，而MBAB，利用直角三角形中三角函數的定義，得到tan∠C1MB，所以異面直線CD與MC1所成角為arctan．

解：（1）連接CM，

∵正方形ABCD中，M為AB中點，且邊長為1，

∴△BCM的面積為SS正方形ABCD．

又∵CC1⊥平面ABCD，

∴CC1是三棱錐C1﹣MBC的高，

∴三棱錐C1﹣MBC的體積為：VC1﹣MBC2；

（2）連接BC1

∵CD∥AB，

∴∠C1MB（或其補角）為異面直線CD與MC1所成的角．

∵AB⊥平面B1C1CB，BC1平面B1C1CB，

∴AB⊥BC1．

Rt△MC1B中，BC1，MBAB

∴tan∠C1MB

所以異面直線CD與MC1所成角為arctan．