Question

【題目】設函數，．

（1）當時，求函數在上的最小值；

（2）若函數在上存在零點，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先求出，分類討論，當和時，函數在上的單調性，即可求出函數在上的最小值；

（2）分離參數后，得，令，分類討論求解的最小值，即可求出參數的取值范圍．

（1）因為，所以，

當時，因為，所以，則函數在上單調遞減，故函數在上的最小值為；

當時，若，則，若，則，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，故函數在上的最小值為．

綜上，當時，函數在上的最小值為；

當時，函數在上的最小值為．

（2）由題意可得，當時，有解，即有解．

令，則．

設，則，

所以在上單調遞增，

又，所以在上有唯一的零點，即在上有唯一的零點，設為，則，

當時，單調遞減，當時，，單調遞增，

所以在上的最小值為，

又，即，所以，

因為在上有解，所以，即．