Question

【題目】已知拋物線與直線只有一個公共點，點是拋物線上的動點.

（1）求拋物線的方程；

（2）①若，求證：直線過定點；

②若是拋物線上與原點不重合的定點，且，求證：直線的斜率為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析，

【解析】

（1）聯立拋物線與直線方程,再根據二者只有一個交點可得,即可求解；

（2）①設,,由直線斜率公式代入可得,由直線的斜率公式可得,進而將代入直線的方程,化簡后即可求解；②設,,利用直線斜率公式代入中化簡可得,即,再根據直線斜率公式求解即可.

解:（1）與聯立得,

因為拋物線與直線只有一個公共點,

所以,即,

所以拋物線的方程為.

（2）①證明:設,,則,

所以,又,

所以直線的方程為,

即,

當時,所以直線過定點.

②證明:設,,

則,

即,

所以,則,

所以直線的斜率為,

因為為定點,

所以直線的斜率為定值.