Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），設a_n=f（n+3）-f（n），n∈N^*，數列{a_n}的前n項和為S_n單調遞增，則下列不等式總成立的是（　　）

• A、f（3）＞f（1）
• B、f（4）＞f（1）
• C、f（5）＞f（1）
• D、f（6）＞f（1）

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由已知條件推導出a_n=6an+9a+3b，所以數列{a_n}是一個等差數列．要使前n項和遞增，必須滿足：公差大于0且從第二項起往后都是正數．由此能求出f（6）＞f（1）總成立．

解答： 解：∵二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），
a_n=f（n+3）-f（n），
∴an=[a(n+3)2+b(n+3)+c]-[an2+bn+c]
=6an+9a+3b，
∴數列{a_n}是一個等差數列．
要使前n項和遞增，必須滿足：公差大于0且從第二項起往后都是正數．
由a₂=21a+3b＞0，得7a+b＞0，
∵f（6）-f（1）=5（7a+b）＞0，
∴f（6）＞f（1）總成立．
故選：D．

點評：本題考查二次函數的性質的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的靈活運用．